Oscillatore anarmonico quartico / sestico

Oscillatore anarmonico — quartico / sestico

Oscillatore anarmonico con termine quartico \(x^4\) o sestico \(x^6\): entrambi portano nella classe di Heun, senza forma chiusa generale — lo spettro è numerico. Il sestico è il caso paradigmatico dei modelli quasi-esattamente risolubili (struttura algebrica \(sl(2)\), Turbiner). Calcolo alle differenze finite dal backend Python (via gw2py).

In variabile \(x\) l'equazione ha una sola singolarità irregolare all'infinito, di rango crescente col grado del potenziale: il quartico è di tipo Heun triconfluente, il sestico di rango superiore. Non esiste una condizione di troncamento generale.

Potenziale

\[ V(x)=\tfrac12 x^2 + \lambda\,x^4 \quad(\text{quartico}),\qquad V(x)=\tfrac12 x^2 + \lambda\,x^6 \quad(\text{sestico}). \]

Nella gerarchia di Heun

In variabile \(x\) l'equazione ha una sola singolarità irregolare all'infinito, di rango crescente col grado del potenziale: il quartico è di tipo Heun triconfluente, il sestico di rango ancora superiore. Non esiste una condizione di troncamento generale: lo spettro è numerico.

Stima perturbativa al primo ordine (quartico): \[ \varepsilon_n \simeq \big(n+\tfrac12\big) + \tfrac{3\lambda}{4}\big(2n^2+2n+1\big). \]

Quasi-esatta risolubilità (sestico)

Il sestico è il caso paradigmatico dei modelli quasi-esattamente risolubili: per relazioni speciali tra i coefficienti, un numero finito di autostati ha forma chiusa (struttura algebrica \(sl(2)\), Turbiner).

Stato da rappresentare

Tipo di stato Livello \(n_1\)

Livello \(n_2\)

Parametri del potenziale

Termine anarmonico Accoppiamento \(\lambda\) = 0.1

Heun tri/bi-confluente

Il quartico su \(\mathbb{R}\) è di tipo Heun triconfluente; con la parità \(z=x^2\) diventa biconfluente. Il sestico spinge ancora più su nella gerarchia. In nessun caso vale la terminazione di serie che quantizza \(_1F_1\) e \(_2F_1\).

Divergenza di Bender–Wu (quartico)

La serie perturbativa del quartico ha raggio di convergenza nullo (coefficienti \(\sim(-1)^{k+1}3^k\,\Gamma(k+\tfrac12)\)): asintotica ma Borel-sommabile.

Quasi-esatta risolubilità (sestico)

Il sestico è l'esempio storico di Turbiner: l'esistenza di un sottospazio invariante finito-dimensionale dell'algebra \(sl(2)\) genera un numero finito di autostati polinomiali esatti, immersi in uno spettro altrimenti solo numerico.

Evidenza computazionale

Quartico \(\lambda=0.1\): il motore dà \(\varepsilon_0=0.5591\), coerente col valore convergente noto (\(0.5591463\)) e con \(\texttt{numpy.eigvalsh}\).

Riferimenti

C. M. Bender, T. T. Wu, Phys. Rev. 184, 1231 (1969). doi.
A. V. Turbiner, «Quasi-exactly-solvable problems and \(sl(2)\) algebra», Commun. Math. Phys. 118, 467 (1988). doi.
A. G. Ushveridze, Quasi-Exactly Solvable Models in Quantum Mechanics, IOP, 1994.
NIST DLMF, cap. 31 (funzioni di Heun). dlmf.nist.gov/31.

WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: oscillatore anarmonico, quartico, sestico, equazione di Heun, Bender-Wu, quasi-esatta risolubilità, Turbiner, sl(2), meccanica quantistica