Molecole biatomiche — potenziale di Morse

Il moto vibrazionale di una molecola biatomica nel potenziale di Morse \(V(r)=D(1-e^{-a(r-r_e)})^2\): un cambio di variabile esponenziale porta all'equazione di Kummer, con un numero finito di stati legati e la dissociazione. Lo spettro \(E_v\) riproduce la serie vibrazionale reale (anarmonicità \(\omega_e x_e\)). Calcolo alle differenze finite dal backend Python (via gw2py).

Come idrogeno e oscillatore armonico, il Morse vive sul ramo confluente \(_1F_1\). La differenza qualitativa è la dissociazione: sopra \(D\) lo spettro è continuo, quindi gli stati legati sono in numero finito.

Coordinata internucleare \(r\); massa ridotta e \(\hbar\) posti a 1.

Potenziale di Morse

\[ V(r)=D\big(1-e^{-a(r-r_e)}\big)^2, \]

anarmonico, con minimo in \(r_e\) e asintoto \(D\) (energia di dissociazione).

Riduzione a Kummer

Con la variabile \(z=2\lambda\,e^{-a(r-r_e)}\), \(\lambda=\sqrt{2D}/a\), l'equazione diventa di Kummer; le soluzioni legate corrispondono a \(_1F_1\) troncate (polinomi di Laguerre in \(z\)).

Spettro vibrazionale in forma chiusa: \[ E_v=\omega\big(v+\tfrac12\big)-\frac{\big[\omega(v+\tfrac12)\big]^2}{4D},\qquad \omega=a\sqrt{2D}, \] con un numero finito di stati legati, \(v=0,\dots,\lfloor\lambda-\tfrac12\rfloor\).

Spettroscopia

La forma \(E_v=\omega_e(v+\tfrac12)-\omega_e x_e(v+\tfrac12)^2\) è esattamente la serie dei livelli vibrazionali reali (H\(_2\), HCl, CO): \(\omega_e x_e=\omega^2/4D\) è la costante di anarmonicità.

Stato da rappresentare

Tipo di stato Livello vibrazionale \(v_1\)

Livello \(v_2\)

La spaziatura dei livelli diminuisce con \(v\) (anarmonicità).

Parametri del potenziale

Profondità di buca \(D\) = 10 Larghezza \(a\) = 0.6 Distanza di equilibrio \(r_e\) = 3 \(r_{\max}\) = 18

Ramo confluente, ma finito

Come idrogeno e oscillatore armonico, il Morse vive sul ramo \(_1F_1\). La differenza qualitativa è la dissociazione: sopra \(D\) lo spettro è continuo, quindi gli stati legati sono in numero finito — una caratteristica che l'oscillatore armonico (buca infinita) non ha.

Invarianza di forma

Il Morse è un potenziale shape-invariant nella meccanica quantistica supersimmetrica: è questa proprietà algebrica a garantirne la risolubilità esatta, come per idrogeno e Pöschl–Teller.

Evidenza computazionale

Con \(D=8,\ a=0.5,\ r_e=3\) il motore riproduce \(E_v\) della formula chiusa a \(\sim2\times10^{-4}\) (\(E_0=0.9687\) contro \(0.96875\)); il conteggio degli stati legati coincide con \(\lfloor\lambda-\tfrac12\rfloor\).

Riferimenti

P. M. Morse, «Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II», Phys. Rev. 34, 57 (1929). doi.
NIST DLMF, cap. 13. dlmf.nist.gov/13.
F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys. Rep. 251, 267 (1995). doi.
G. Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure I, Van Nostrand, 1950.

WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: Morse, molecola biatomica, vibrazione, anarmonicità, dissociazione, ipergeometrica confluente, Kummer, spettroscopia, meccanica quantistica