Oscillatore anarmonico quartico

Oscillatore anarmonico quartico \(V(x)=\tfrac12 x^2+\lambda x^4\): il caso di riferimento della teoria delle perturbazioni divergente (Bender–Wu). La serie perturbativa ha raggio di convergenza nullo ma è Borel-sommabile; lo spettro esatto è calcolato numericamente alle differenze finite dal backend Python (via gw2py). Per il confronto quartico/sestico vedi anche la pagina «oscillatore anarmonico quartico/sestico».

Il quartico è l'esempio storico in cui la teoria delle perturbazioni diverge: la serie in \(\lambda\) è asintotica (raggio di convergenza nullo) ma Borel-sommabile, e il confronto col calcolo numerico esatto è il banco di prova.

Potenziale quartico

\[ V(x)=\tfrac12 x^2 + \lambda\,x^4,\qquad \lambda\ge 0. \]

Un'apparente piccola perturbazione dell'oscillatore armonico; in realtà cambia qualitativamente la struttura analitica (una singolarità irregolare all'infinito, tipo Heun triconfluente).

Serie perturbativa e divergenza

Al primo ordine \(\varepsilon_n\simeq(n+\tfrac12)+\tfrac{3\lambda}{4}(2n^2+2n+1)\). Ma la serie completa \(\varepsilon_0(\lambda)=\sum_k a_k\lambda^k\) ha coefficienti che crescono fattorialmente,

\[ a_k \sim (-1)^{k+1}\,\frac{\sqrt6}{\pi^{3/2}}\,3^k\,\Gamma\!\big(k+\tfrac12\big), \]

Il raggio di convergenza è nullo: la serie è asintotica, non convergente. È il risultato di Bender–Wu (1969).

Sommabilità di Borel

La serie è comunque Borel-sommabile: la trasformata di Borel converge e la sua risommazione restituisce l'energia esatta. È il prototipo del legame tra serie divergenti e risultati fisici finiti.

Stato da rappresentare

Tipo di stato Livello \(n_1\)

Livello \(n_2\)

Parametro del potenziale

Accoppiamento quartico \(\lambda\) = 0.1

Unità adimensionali (\(\hbar=m=1\)). A \(\lambda=0\) si recupera l'oscillatore armonico; crescendo \(\lambda\) i livelli si innalzano più che linearmente.

Perché la serie diverge

La crescita fattoriale dei coefficienti riflette gli istantoni del problema (a \(\lambda<0\) il potenziale è instabile): il raggio di convergenza nullo è la firma della singolarità in \(\lambda=0\) lungo l'asse reale negativo.

Numerico vs perturbativo

Il solutore alle differenze finite dà l'energia esatta per ogni \(\lambda\); la serie perturbativa la approssima bene solo troncata all'ordine ottimale (\(k\sim1/(3\lambda)\)), poi peggiora — comportamento tipico delle serie asintotiche.

Evidenza computazionale

Per \(\lambda=0.1\) il motore dà \(\varepsilon_0=0.5591\), coerente con il valore convergente noto \(0.5591463\) (risommazione di Borel) e con \(\texttt{numpy.eigvalsh}\).

Riferimenti

C. M. Bender, T. T. Wu, «Anharmonic Oscillator», Phys. Rev. 184, 1231 (1969). doi.
C. M. Bender, T. T. Wu, Phys. Rev. D 7, 1620 (1973). doi.
J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford Univ. Press.
NIST DLMF, cap. 31 (funzioni di Heun). dlmf.nist.gov/31.

WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

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