Atomo di Hooke — harmonium, due elettroni correlati

Atomo di Hooke (harmonium)

Due elettroni in trappola armonica con repulsione di Coulomb (atomo di Hooke, harmonium). Il moto relativo è quasi-esattamente risolubile: forme chiuse solo per valori discreti di \(\omega\) (Taut 1993, la più bassa \(\omega=\tfrac12\)). È il modello risolubile di correlazione elettronica. Calcolo alle differenze finite dal backend Python (via gw2py).

La combinazione di confinamento armonico e repulsione di Coulomb produce forme chiuse solo quando \(\omega\) assume valori discreti (Taut): è il fenomeno della quasi-esatta risolubilità nella sua incarnazione fisica più celebre.

Coordinata relativa \(r=|\mathbf r_1-\mathbf r_2|\); unità ridotte.

Separazione centro di massa / relativa

Per due elettroni in un potenziale armonico comune, la trasformazione centro-di-massa/relativa disaccoppia il problema. Tutta la fisica della correlazione sta nel moto relativo:

\[ -\tfrac12 u'' + \Big[\tfrac12\omega^2 r^2 + \tfrac{1}{r} + \tfrac{\ell(\ell+1)}{2r^2}\Big]u = E\,u, \]

con confinamento armonico \(+\) repulsione di Coulomb \(1/r\).

Heun biconfluente e quasi-esatta risolubilità

Questa equazione è di tipo Heun biconfluente. Taut (1993) mostrò che ammette soluzioni in forma chiusa solo per un insieme discreto di frequenze \(\omega\) (la più bassa è \(\omega=\tfrac12\)): è l'esempio-tipo di sistema quasi-esattamente risolubile.

Per \(\omega\) generico lo spettro è solo numerico; per gli \(\omega\) speciali di Taut alcuni livelli hanno autofunzione polinomiale esatta.

Perché conta

È il modello risolubile di correlazione elettronica: due elettroni interagenti trattati esattamente nel moto relativo. Prototipo dei punti quantici (quantum dot) a due elettroni.

Stato da rappresentare

Tipo di stato Livello \(n_1\)

Livello \(n_2\)

Autostati del moto relativo (per \(\ell\) fissato).

Parametri fisici e griglia

Frequenza di trappola \(\omega\) = 0.5

\(\omega=0.5\) è la prima frequenza esattamente risolubile (Taut 1993).

Momento angolare relativo \(\ell\) \(r_{\max}\) = 18

Heun biconfluente

Il moto relativo dell'harmonium si mappa sull'equazione di Heun biconfluente (Karwowski–Witek): un punto singolare regolare in \(0\) e uno irregolare di rango 2 all'infinito — un gradino oltre il quartico.

Quasi-esatta risolubilità

La combinazione di confinamento armonico e repulsione di Coulomb produce forme chiuse solo quando \(\omega\) assume valori discreti (Taut): lì la serie di Heun tronca. È il fenomeno QES nella sua incarnazione fisica più celebre.

Evidenza computazionale

Il motore risolve il moto relativo per \(\omega\) arbitrario; a \(\omega=\tfrac12\) (primo caso di Taut) il livello fondamentale relativo si isola come atteso. Ortonormalità \(\sim10^{-15}\). La trattazione è del moto relativo in unità ridotte.

Riferimenti

M. Taut, «Two electrons in an external oscillator potential: particular analytic solutions», Phys. Rev. A 48, 3561 (1993). doi.
J. Karwowski, H. A. Witek, «Biconfluent Heun equation in quantum chemistry», Theor. Chem. Acc. 133, 1494 (2014).
A. V. Turbiner, Commun. Math. Phys. 118, 467 (1988). doi.
NIST DLMF, cap. 31 (funzioni di Heun). dlmf.nist.gov/31.

WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: atomo di Hooke, harmonium, correlazione elettronica, Heun biconfluente, Taut, quasi-esatta risolubilità, quantum dot, meccanica quantistica