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Atomo di idrogeno

L'equazione radiale dell'atomo idrogenoide, fattorizzati i comportamenti in \(0\) e \(\infty\), si riduce all'equazione di Kummer: la stessa ipergeometrica confluente \(_1F_1\) dell'oscillatore armonico, con spettro \(E_n=-Z^2/2n^2\) e degenerazione \(n^2\). La pagina mostra la parte radiale \(u(r)=rR(r)\); autovalori e autofunzioni sono calcolati alle differenze finite dal backend Python (via gw2py).

Idrogeno, oscillatore armonico e Morse condividono lo stesso ramo confluente \(_1F_1\): dopo la fattorizzazione asintotica, l'equazione è di Kummer. La quantizzazione \(E_n\propto-1/n^2\) nasce dalla terminazione della serie.

Unità atomiche (\(\hbar=m_e=e=1\)); energie in hartree (1 Ha = 27.211 eV).

Equazione radiale

Separando \(\psi=R(r)Y_{\ell m}\) e ponendo \(u(r)=rR(r)\):

\[ -\tfrac12 u'' + \Big[-\tfrac{Z}{r} + \tfrac{\ell(\ell+1)}{2r^2}\Big]u = E\,u,\qquad u(0)=0. \]

Riduzione a Kummer

Fattorizzati il comportamento regolare in \(0\) (\(u\sim r^{\ell+1}\)) e quello legato in \(\infty\) (\(u\sim e^{-Zr/n}\)), la parte restante soddisfa l'equazione di Kummer; la soluzione normalizzabile è

\[ u_{n\ell}(r)\propto r^{\ell+1}e^{-Zr/n}\,{}_1F_1\!\Big(-(n-\ell-1);\,2\ell+2;\,\tfrac{2Zr}{n}\Big), \]

cioè un polinomio di Laguerre associato — la stessa \(_1F_1\) confluente dell'oscillatore.

La terminazione della serie (\(n-\ell-1\in\{0,1,2,\dots\}\)) dà lo spettro \[ E_n=-\frac{Z^2}{2n^2},\qquad n=\ell+1,\ell+2,\dots \] con degenerazione \(n^2\) (in \(\ell,m\)).

Lettura fisica

Il numero di nodi radiali è \(n-\ell-1\). La degenerazione accidentale in \(\ell\) riflette la simmetria dinamica \(SO(4)\) (vettore di Runge–Lenz), propria del potenziale \(1/r\).

Stato da rappresentare
L'indice numera gli autostati radiali calcolati (per \(\ell\) fissato).
Parametri fisici e griglia
La funzione mostrata è la parte radiale \(u(r)=rR(r)\).

Ramo confluente \(_1F_1\)

Idrogeno, oscillatore armonico e potenziale di Morse condividono lo stesso ramo: l'equazione, dopo la fattorizzazione asintotica, è di Kummer (\(0\) regolare, \(\infty\) irregolare). È il ramo confluente della classe di Natanzon; il «trucco» comune è isolare i comportamenti in \(0\) e \(\infty\) e riconoscere una \(_1F_1\) in ciò che resta.

Simmetria e degenerazione

La degenerazione in \(\ell\) non è casuale: il gruppo \(SO(4)\) generato da momento angolare e vettore di Runge–Lenz rende l'idrogeno «massimamente simmetrico», un tratto assente in Morse o nell'oscillatore anarmonico.

Evidenza computazionale

Il motore alle differenze finite riproduce \(E_n=-Z^2/2n^2\): per \(Z=1,\ell=0\) i primi livelli \(-0.4995,\,-0.1250,\,-0.0556\) Ha contro \(-0.5,\,-0.125,\,-0.0556\) (errore \(\sim5\times10^{-4}\), tipico delle differenze finite). Nodi radiali corretti \(0,1,2\); ortonormalità \(\sim10^{-15}\).

Riferimenti

  1. NIST DLMF, cap. 13 (ipergeometrica confluente) e 18 (Laguerre). dlmf.nist.gov/13.
  2. H. A. Bethe, E. E. Salpeter, Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms, Springer, 1957.
  3. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Pergamon, §36.
  4. F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys. Rep. 251, 267 (1995). doi.
  5. G. A. Natanzon, Theor. Math. Phys. 38, 146 (1979).

WebNIR · IFAC-CNR  |  interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: idrogeno, atomo idrogenoide, equazione radiale, ipergeometrica confluente, 1F1, Laguerre, Kummer, SO(4), Runge-Lenz, meccanica quantistica