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Equazione di Schrödinger e forma adimensionale

Il problema stazionario per l'oscillatore armonico unidimensionale è

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\psi''(x) + \tfrac12 m\omega^2 x^2\,\psi(x) = E\,\psi(x). \]

Introducendo la variabile adimensionale \(\xi = x/x_0\) con lunghezza caratteristica \(x_0=\sqrt{\hbar/m\omega}\) e l'energia ridotta \(\varepsilon = E/(\hbar\omega)\), si ottiene

\[ \psi''(\xi) + \big(2\varepsilon - \xi^2\big)\,\psi(\xi) = 0. \tag{1} \]

Comportamento asintotico → equazione di Hermite

Per \(\xi\to\pm\infty\) domina il termine \(-\xi^2\psi\), le cui soluzioni normalizzabili vanno come \(e^{-\xi^2/2}\). Si fattorizza quindi \(\psi(\xi)=e^{-\xi^2/2}\,u(\xi)\); sostituendo nella (1) resta l'equazione di Hermite:

\[ u'' - 2\xi\,u' + (2\varepsilon-1)\,u = 0. \tag{2} \]

Separazione di parità → equazione di Kummer

Il potenziale è pari, quindi le autofunzioni hanno parità definita. Con la sostituzione \(t=\xi^2\) si separano i due settori. Per le soluzioni pari, \(u(\xi)=f(t)\):

\[ t\,f'' + \big(\tfrac12 - t\big)f' + \tfrac{n}{2}\,f = 0, \]

e per le soluzioni dispari, \(u(\xi)=\xi\,f(t)\):

\[ t\,f'' + \big(\tfrac32 - t\big)f' + \tfrac{n-1}{2}\,f = 0. \]

Entrambe hanno la forma dell'equazione di Kummer \(t\,f'' + (b-t)f' - a\,f = 0\), con

\[ a = -\Big\lfloor \tfrac{n}{2}\Big\rfloor, \qquad b = \begin{cases}\tfrac12 & n \text{ pari}\\[2pt] \tfrac32 & n \text{ dispari.}\end{cases} \]

Il simbolo P di Riemann

L'equazione ipergeometrica di Gauss \(z(1-z)w'' + [c-(a+b+1)z]w' - ab\,w = 0\) possiede tre punti singolari fuchsiani in \(0,1,\infty\), riassunti nel simbolo P di Riemann:

\[ w = P\!\begin{Bmatrix} 0 & 1 & \infty & \\ 0 & 0 & a & ;\,z \\ 1-c & c-a-b & b & \end{Bmatrix}. \]

Ogni colonna raccoglie gli esponenti indiciali nel rispettivo punto singolare; la loro somma vale \(1\) (relazione di Fuchs):

\[ (0 + 1-c) + (0 + c-a-b) + (a+b) = 1. \]

Confluenza → equazione di Kummer

Ponendo \(z\to x/b\) e mandando \(b\to\infty\), i punti singolari \(1\) e \(\infty\) si fondono in un unico punto singolare irregolare all'infinito, mentre resta quello fuchsiano in \(0\). I coefficienti dell'ODE tendono a

\[ x\,w'' + (c-x)\,w' - a\,w = 0, \]

cioè l'equazione di Kummer, e la serie di Gauss si riduce termine a termine alla \(_1F_1\):

\[ {}_2F_1\!\big(a,b;c;\tfrac{x}{b}\big)\;\xrightarrow[\;b\to\infty\;]{}\;{}_1F_1(a;c;x). \]

Quantizzazione dalla terminazione della serie

Per \(t\to+\infty\) si ha \(_1F_1(a;b;t)\sim \dfrac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}e^{t}t^{a-b}\); moltiplicata per \(e^{-\xi^2/2}\) darebbe \(\psi\sim e^{+\xi^2/2}\), non normalizzabile. L'unica via d'uscita è che la serie termini, ossia che

\[ a = -\Big\lfloor\tfrac n2\Big\rfloor \in \{0,-1,-2,\dots\}. \]

Autofunzioni

In forma unificata, con \(m=\lfloor n/2\rfloor\):

\[ \psi_n(\xi) = N_n\,\xi^{\,(n\bmod 2)}\,e^{-\xi^2/2}\,{}_1F_1\!\Big(-m;\;b;\;\xi^2\Big), \]

equivalente alla forma chiusa \(\psi_n(\xi)=\big(2^n n!\sqrt\pi\big)^{-1/2}H_n(\xi)\,e^{-\xi^2/2}\) coi polinomi di Hermite \(H_n\). Le \(\psi_n\) formano una base ortonormale: \(\langle\psi_m|\psi_n\rangle=\delta_{mn}\).

Evoluzione temporale

Uno stato generico si espande sugli autostati, \(\Psi(\xi,0)=\sum_n c_n\psi_n(\xi)\), ed evolve come

\[ \Psi(\xi,\tau) = \sum_n c_n\,\psi_n(\xi)\,e^{-i\,\varepsilon_n\,\tau}, \qquad \tau=\omega t,\ \varepsilon_n=n+\tfrac12. \]

• Autostato singolo: \(\Psi=\psi_n\,e^{-i\varepsilon_n\tau}\). La densità \(|\Psi|^2\) è stazionaria; nel piano complesso la funzione d'onda ruota rigidamente attorno all'asse \(\xi\) — la spirale visualizzata nel pannello 3D.
• Stato coerente \(|\alpha\rangle\), con \(c_n=e^{-|\alpha|^2/2}\alpha^n/\sqrt{n!}\): pacchetto gaussiano che oscilla come \(\langle\xi\rangle(\tau)=\sqrt2\,\mathrm{Re}\!\big(\alpha e^{-i\tau}\big)\), riproducendo il moto classico.
• Periodicità: poiché i livelli sono equispaziati, ogni stato è esattamente periodico con \(T=2\pi/\omega\).

Il calcolo di autovalori e autofunzioni è delegato al motore Python (via gw2py); questa pagina ne prepara input e visualizzazione.