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Pöschl–Teller — il simbolo P pieno

La buca \(\mathrm{sech}^2\) di Pöschl–Teller è il rappresentante della classe non confluente: l'equazione si riduce alla Gauss \(_2F_1\) con i suoi tre punti singolari fuchsiani \(0,1,\infty\) — il simbolo P di Riemann al completo. Spettro legato finito \(E_n=-\tfrac{\alpha^2}{2}(\lambda-n)^2\); per \(\lambda\) intero il potenziale è trasparente. Calcolo alle differenze finite dal backend Python (via gw2py).

Mentre idrogeno, Morse e oscillatore armonico usano la \(_1F_1\) (Kummer, due singolarità fuse), Pöschl–Teller si riduce alla Gauss \(_2F_1\) con i tre punti singolari regolari \(0,1,\infty\) intatti: il simbolo P di Riemann adoperato per intero.

Buca \(\mathrm{sech}^2\)

\[ V(x)=-\frac{\lambda(\lambda+1)\,\alpha^2}{2}\,\mathrm{sech}^2(\alpha x). \]

Riduzione a Gauss \(_2F_1\)

Con la variabile \(\xi=\tfrac12\big(1-\tanh(\alpha x)\big)\in(0,1)\), l'equazione di Schrödinger diventa l'equazione ipergeometrica di Gauss, con i tre punti singolari regolari \(0,1,\infty\): il simbolo P di Riemann nella sua forma piena, senza confluenza. Le autofunzioni sono \(_2F_1\) (funzioni di Legendre associate / Jacobi).

Spettro legato (finito): \[ E_n=-\frac{\alpha^2}{2}\,(\lambda-n)^2,\qquad n=0,1,\dots,\lfloor\lambda\rfloor. \]

Trasparenza e solitoni

Per \(\lambda\) intero il potenziale è riflessionless (trasparente a ogni energia): è il legame con i solitoni dell'equazione di Korteweg–de Vries e i potenziali di Bargmann.

Stato da rappresentare
Parametri del potenziale
Stati legati: \(n=0,\dots,\lfloor\lambda\rfloor\). \(\lambda\) intero ⇒ potenziale trasparente.

Il ramo \(_2F_1\): tre punti fuchsiani, niente confluenza

Mentre idrogeno, Morse e oscillatore armonico usano la \(_1F_1\) (Kummer, dove due singolarità si sono fuse), Pöschl–Teller si riduce alla Gauss \(_2F_1\) con i tre punti singolari regolari \(0,1,\infty\) intatti. È il simbolo P di Riemann adoperato per intero.

La famiglia del simbolo P pieno

Tutti questi potenziali si riducono alla Gauss \(_2F_1\) (ramo ipergeometrico della classe di Natanzon): Pöschl–Teller (\(\mathrm{sech}^2\)) e trigonometrico, Eckart, Rosen–Morse (iperbolico e trigonometrico), Hulthén, Manning–Rosen, Scarf I e II. Tutti shape-invariant (SUSY QM), con spettro dato da una formula chiusa che discende dalla terminazione della \(_2F_1\).

Evidenza computazionale

Con \(\lambda=4,\ \alpha=1\) il motore riproduce \(E_n=-(\lambda-n)^2/2 = -8,\,-4.5,\,-2,\,-0.5\) a \(\sim1.5\times10^{-3}\); il numero di stati legati coincide con \(\lfloor\lambda\rfloor+1\).

Riferimenti

  1. G. Pöschl, E. Teller, Z. Phys. 83, 143 (1933).
  2. NIST DLMF, cap. 15 (ipergeometrica di Gauss). dlmf.nist.gov/15.
  3. G. A. Natanzon, Theor. Math. Phys. 38, 146 (1979).
  4. F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys. Rep. 251, 267 (1995). doi.

WebNIR · IFAC-CNR  |  interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: Pöschl-Teller, sech quadro, ipergeometrica di Gauss, 2F1, simbolo P di Riemann, potenziale trasparente, solitoni, SUSY, meccanica quantistica