Doppia buca quantistica — tunneling, doppietti e istantoni

Doppia buca — tunneling e doppietti

Due minimi separati da una barriera: gli autostati bassi si organizzano in doppietti quasi-degeneri, con separazione esponenzialmente piccola nell'altezza della barriera — il modello del tunneling quantistico (inversione dell'ammoniaca, transizioni conformazionali, qubit a doppio pozzo). Non esiste forma chiusa: lo spettro è calcolato alle differenze finite dal backend Python (via gw2py); l'interfaccia mostra in 3D la funzione d'onda complessa e l'oscillazione coerente della densità tra i due pozzi.

Due pozzi degeneri separati da una barriera di altezza \(B\): gli stati vengono in coppie quasi-degeneri (simmetrica e antisimmetrica) la cui separazione \(\Delta\) è esponenzialmente piccola nella barriera. È il paradigma del tunneling quantistico.

Potenziale a doppio pozzo

\[ V(x)=B\left(\frac{x^2}{x_0^2}-1\right)^2, \]

due minimi degeneri in \(x=\pm x_0\) (profondità 0) separati da una barriera di altezza \(B\) in \(x=0\).

Doppietti di tunneling

Gli autostati bassi vengono in coppie quasi-degeneri: una combinazione simmetrica \(\psi_+\) e una antisimmetrica \(\psi_-\), separate da

\[ \Delta = E_- - E_+ \sim \hbar\omega\,e^{-S_0/\hbar}, \]

con \(S_0\) l'azione dell'istantone (traiettoria in tempo immaginario tra i due pozzi). La barriera controlla il tunneling: più alta, più piccolo \(\Delta\).

Partendo da uno stato localizzato in un pozzo (sovrapposizione \(\tfrac{1}{\sqrt2}(\psi_++\psi_-)\)), la densità \(|\Psi|^2\) oscilla tra i due pozzi con periodo \(T=2\pi/\Delta\): il tunneling coerente.

Dove appare

Inversione della molecola d'ammoniaca (NH\(_3\)), transizioni conformazionali, e i qubit a doppio pozzo: la fisica è sempre il doppietto e il suo splitting.

Stato da rappresentare

Tipo di stato Livello \(n_1\)

Livello \(n_2\)

Il doppietto \((0,1)\) mostra il tunneling coerente tra i due pozzi.

Parametri del potenziale

Altezza della barriera \(B\) = 6

Barriere più alte ⇒ doppietti sempre più stretti (tunneling soppresso).

Semi-separazione dei pozzi \(x_0\) = 1.6

Unità adimensionali (\(\hbar=m=1\)). Lo spettro è calcolato alle differenze finite dal backend Python.

Heun confluente

La doppia buca quartica appartiene alla classe della Heun confluente — la stessa del modello di Rabi. Come per l'oscillatore anarmonico, non c'è forma chiusa generale: lo splitting va calcolato (numericamente, o via istantoni in regime di barriera alta).

Istantoni

Lo splitting esponenziale \(\Delta\sim e^{-S_0}\) è il risultato non perturbativo per eccellenza: invisibile a ogni ordine della teoria delle perturbazioni, emerge dalle traiettorie classiche in tempo immaginario (istantoni). È il ponte tra la doppia buca e la teoria dei campi.

Evidenza computazionale

Il solutore alle differenze finite risolve i doppietti quasi-degeneri grazie alla ri-ortogonalizzazione (ortonormalità \(\sim10^{-15}\) anche quando \(\Delta\ll1\)). Aumentando \(B\), \(\Delta=E_1-E_0\) diminuisce, come atteso.

Riferimenti

S. Coleman, Aspects of Symmetry, Cambridge Univ. Press, 1985 (cap. «The uses of instantons»).
C. M. Bender, T. T. Wu, Phys. Rev. D 7, 1620 (1973). doi.
NIST DLMF, cap. 31 (funzioni di Heun). dlmf.nist.gov/31.
F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys. Rep. 251, 267 (1995). doi.

WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — il calcolo numerico è fornito dal backend Python (gw2py).

Keywords: doppia buca, tunneling, doppietti, istantoni, Heun confluente, inversione ammoniaca, differenze finite, Schrödinger, meccanica quantistica