Nucleo collettivo
Il modello collettivo di Bohr–Mottelson: il nucleo pesante come goccia quantistica deformabile che vibra e ruota. Quattordici nuclei selezionabili fra i vertici del triangolo delle forme — U(5), SU(3), O(6) — e i punti critici X(5)/E(5), i cui spettri vengono dagli zeri di Bessel. Tabelle e sistematica dal backend Python (via gw2py).La superficie nucleare deformabile che vibra e ruota: dieci rotori attinidi, un vibratore, un γ-molle e i due punti critici, da ²³⁸U a ¹³⁴Ba.
Modello collettivo di Bohr–Mottelson: il nucleo pesante come goccia quantistica deformabile.
La superficie nucleare
Si parametrizza il raggio della superficie con armoniche sferiche; il modo dominante nei nuclei pesanti è il quadrupolo (\(\lambda=2\)):
\[ R(\theta,\varphi)=R_0\Big[1+\sum_{\mu}\alpha_{2\mu}Y_{2\mu}(\theta,\varphi)\Big]. \]Nel riferimento intrinseco i cinque \(\alpha_{2\mu}\) si riducono a due variabili di forma \((\beta,\gamma)\) più tre angoli di Eulero (la rotazione):
\[ R(\theta,\varphi)=R_0\Big[1+\sqrt{\tfrac{5}{16\pi}}\,\beta\big(\cos\gamma\,(3\cos^2\theta-1)+\sqrt3\,\sin\gamma\,\sin^2\theta\cos2\varphi\big)\Big]. \]L'hamiltoniana di Bohr
Energia cinetica collettiva (vibrazioni di \(\beta,\gamma\) + rotazione) più potenziale \(V(\beta,\gamma)\). In coordinata \(\beta\) l'energia cinetica è quella di un problema radiale in 5 dimensioni (misura \(\beta^4\,d\beta\)).
I vertici del triangolo delle forme
- Vibratore sferico U(5) (¹¹⁰Cd): equilibrio sferico, piccole oscillazioni quadrupolari (fononi). \(E\propto N\), \(R_{4/2}=2.0\); autofunzioni in \(\beta\) = oscillatore armonico 5D (polinomi di Laguerre).
- Rotore assiale SU(3) (²³⁸U): forma rigida deformata che ruota → banda \(E_I\propto I(I+1)\), \(R_{4/2}=3.33\).
- γ-molle O(6) (¹⁹⁶Pt): forma deformata con \(\gamma\) completamente libero (vaga su tutte le forme triassiali). \(E\propto\tau(\tau+3)\), \(R_{4/2}=2.5\).
- X(5) (¹⁵²Sm): punto critico U(5)→SU(3) (Iachello). \(\beta\) in una buca quadrata, \(\gamma\approx0\).
- E(5) (¹³⁴Ba): punto critico U(5)→O(6). Potenziale indipendente da \(\gamma\).
Il legame con le funzioni di Bessel
Ai punti critici \(V(\beta)\) è una buca quadrata: con \(f=\beta^{-3/2}\phi\) l'equazione in \(\beta\) diventa l'equazione di Bessel, e la condizione al contorno \(\phi(\beta_W)=0\) quantizza l'energia con gli zeri di \(J_\nu\):
\[ E_{s,L}\propto x_{\nu,s}^2,\qquad \nu=\begin{cases}\tau+\tfrac32 & \text{E(5)}\\[2pt]\sqrt{\tfrac{L(L+1)}{3}+\tfrac94}& \text{X(5)}\end{cases} \]Nucleo
Animazione
Superficie nucleare (β,γ) in evoluzione
Stato
- Modello
- —
- Forma istantanea
- —
- Spettro
- —
- E(2⁺)
- —
- R₄/₂ = E(4⁺)/E(2⁺)
- —
Schema dei livelli
Collettivo vs microscopico, e dove vivono le funzioni speciali.
Perché il modello collettivo (e non la TDHF)
La dinamica microscopica di un nucleo pesante è la Hartree–Fock dipendente dal tempo (TDHF): campo medio autoconsistente, densità 3D che evolve — il gold standard per fissione e collisioni fra ioni pesanti, ma inavvicinabile in un'anteprima browser (griglie 3D, centinaia di funzioni d'onda nucleoniche). Il modello collettivo è la sua controparte geometrica: cattura la stessa fenomenologia (rotazioni, vibrazioni, transizioni di forma) con due sole coordinate \((\beta,\gamma)\), a costo numerico irrisorio.
Il triangolo di Casten
La funzione speciale della pagina
Come Pöschl–Teller porta la \(_2F_1\) e H₂⁺ la Heun confluente, qui il ruolo è degli zeri delle funzioni di Bessel \(J_\nu\). L'ordine \(\nu\) non è intero: \(\nu=\tau+\tfrac32\) (E(5)) oppure \(\nu=\sqrt{L(L+1)/3+9/4}\) (X(5)). L'equazione radiale in \(\beta\), col termine centrifugo 5-dimensionale, è dello stesso tipo che il motore FD radiale della collezione già tratta.
Evidenza
scipy.special).Riferimenti
- A. Bohr, B. R. Mottelson, Nuclear Structure, Vol. II, Benjamin, 1975.
- F. Iachello, «Dynamic Symmetries at the Critical Point» (E(5)), Phys. Rev. Lett. 85, 3580 (2000). doi.
- F. Iachello, «Analytic Description of Critical Point Nuclei» (X(5)), Phys. Rev. Lett. 87, 052502 (2001). doi.
- R. F. Casten, N. V. Zamfir, «Evidence for a Possible E(5) Symmetry in ¹³⁴Ba», Phys. Rev. Lett. 85, 3584 (2000). doi.
- R. F. Casten, N. V. Zamfir, «Empirical Realization of a Critical Point Description» (¹⁵²Sm), Phys. Rev. Lett. 87, 052503 (2001). doi.
- P. Ring, P. Schuck, The Nuclear Many-Body Problem, Springer, 1980.
WebNIR · IFAC-CNR | interfaccia dimostrativa — dati e sistematica dal backend Python (gw2py).
Keywords: nucleo collettivo, Bohr-Mottelson, deformazione quadrupolare, beta gamma, rotore, vibratore, X(5), E(5), zeri di Bessel, triangolo di Casten